iPon Cikkek

A világ formája és az Abel-díj

Dátum | 2015. 05. 31.
Szerző | Jools
Csoport | EGYÉB

Az idei évben John Nash és Louis Nirenberg vehette át Oslóban a matematikai Nobel-díjként is emlegetett Abel-díjat. A kutatók a bizottság indoklása szerint „a nemlineáris parciális differenciálegyenletek elméletéhez való átütő és termékeny hozzájárulásukért és az elmélet geometriai elemzésekben való felhasználásáért” részesült az alig tíz éve létező, ám hatalmas presztízsű kitüntetésben. Az idei díjátadóhoz sajnos tragikus hír társul: Nash (86), és 82 éves felesége, Alicia május 23-án Norvégiából való megérkezésüket követően, a repülőtérről hazafelé tartva halálos balesetet szenvedett, amikor taxijuk egy félresikerült előzés után a szalagkorlátnak ütközött. Nash neve és személye sokak számára ismerős lehet Sylvia Nasar Egy csodálatos elme című, angolul 1998-ban megjelent könyve, illetve az ebből készült 2001-es film nyomán, amely a zseniális matematikus fiatal, termékeny éveit, majd súlyosbodó mentális problémáit mutatja be. A film utolsó jelente az 1994-es közgazdasági Nobel-díj átadását idézi fel, amelyet Nash Harsányi Jánossal és Reinhard Seltennel megosztva vehetett át a játékelmélet területén végzett munkájáért. A játékelmélet lényegileg olyan helyzetek matematikai leírásával foglalkozik, amelyekben két vagy több fél verseng egymással valamilyen cél elérése érdekében, legyen szó egy amőba-, vagy egy sakkjátszmáról, cégek piaci, vagy egész országok geopolitikai versengéséről, nem is beszélve a fajok evolúciós küzdelméről. Meglepően rövid, mindössze 27 oldalas, ám annál tartalmasabb doktori értekezésében Nash a következő szituációt tanulmányozta: képzeljük el, hogy bizonyos számú játékos verseng egymással, és mind több saját stratégia közül válogathatnak, amelyekhez eltérő kifizetési érték társul, ahogy ez a való életben oly sokszor előfordul. Nash elmélete szerint minden hasonló, úgynevezett nem kooperatív játékban létezik legalább egy olyan egyéni stratégiákból összeálló stratégiaegyüttes, amely esetén utólag egyik játékosnak sem lesz megbánnivalója, vagyis ha a játék végén megtudja, hogy a többiek hogyan játszottak, akkor sem fog tudni olyan új stratégiát választani, amellyel jobban járt volna. Ezt a stratégiaegyüttest a játékelméletben azóta Nash-egyensúlyként emlegetik.
Nash (balra) és Nirenberg a norvég királytól vette át a díjat
Az elméletet korlátai ellenére máig rendszeresen alkalmazzák az üzleti stratégiák kidolgozása során, a való élet ugyanis meglepően sokszor hasonlít egy nem kooperatív játékra. Ha a fent említett szituációban néhány játékos összefogna, és közösen változtatnának stratégiájukon, elképzelhető, hogy mindannyiuk számára kedvezőbb végeredmény születne, tisztán a saját javukra koncentráló résztvevők esetén azonban a Nash-egyensúly megvalósítása jelentheti azt a megoldást, amellyel ha kiemelkedően jól nem is, de nagyon rosszul sem jár senki. A New York Times-ban megjelent nekrológban Roger Myerson, a Chicagói Egyetem közgazdásza a Nash-egyensúly közgazdaságtani jelentőségét ahhoz hasonlítja, ahogy a DNS felfedezése forradalmasította a biológiát. Ahogy azonban az első bekezdésben idézett indoklásból is kitűnik, Nash nem játékelméleti eredményeiért részesült az Abel-díjban. „Amit Nash a geometria területén művelt, az véleményem szerint messze meghaladja közgazdaságtani eredményeit” – mondja a matematikusról Mikhail Gromov, az Abel-díj egyik korábbi nyertese. Hogy némi fogalmunk legyen arról, hogy miért is részesült a díjban Nash és Nirenberg, vissza kell nyúlnunk a geometria kezdeteihez. A szó első használata Hérodotosz, i. e. 5. századi görög történetíróhoz köthető, aki gyakorlatilag földmérés jelentésben használta azt, amikor arról írt, hogy az egyiptomiak hogyan számították ki a termékeny földterületek nagyságát. A görögök aztán komoly tudománnyá fejlesztették a geometriát, amelynek keretében a tér pontjainak, egyeneseinek és síkjainak viselkedésével kapcsolatos szabályszerűségeket fogalmazták meg. A geometria atyjaként is emlegetett Eukleidész például Elemek című művében többek közt igazolta, hogy a háromszög belső szögeinek összege minden esetben 180 fok. A 19. század elején azonban a matematikusok új módokon kezdtek gondolkodni a térről, és rájöttek, hogy az eukleidészi geometria szabályai nem minden esetben működnek. Ha például azt a bizonyos háromszöget egy gömb külsejére rajzolják, a belső szögek összege több lesz 180 foknál, hiperbolikus (nyeregszerű) felületek esetében pedig ugyanez az összeg 180 foknál kevesebb lesz. A probléma megválaszolása érdekében a szakértők bevezették a görbület fogalmát.
Ha egy felület görbülete nulla, az teljesen sík, vagyis úgynevezett eukleidészi sík, amelyre érvényesek az eukleidészi geometria megállapításai. Pozitív görbületről az ilyen síkhoz képesti „kidomborodás”, például egy gömbfelület esetén beszélünk, negatív görbületről pedig ennek ellentéte esetén, vagyis ha eukleidészi sík helyett egyfajta mélyedéssel van dolgunk. Az eukleidészi szabályok sem negatív, sem pozitív görbület esetén nem működnek. Előreszaladva az időben, napjainkban az eukleidészi mellett beszélhetünk szférikus és hiperbolikus síkok geometriájáról is, amelyek a felület görbületétől függően eltérő axiómákon alapulnak. Ha kívülről tekintünk egy felületre, többnyire könnyű dolgunk van annak megállapításában, hogy melyik típusú geometriát kell arra vonatkoztatni. De mi a helyzet akkor, ha a felületen tartózkodunk, és nem áll rendelkezésünkre olyan viszonyítási pont, például egy horizont mögött eltűnő hajó, amely segíthetne annak eldöntésében, hogy milyen világunk görbülete? Carl Friedrich Gauss német matematikus volt az első, aki szabályokat fogalmazott meg a pozitív és negatív görbületű felszínekkel kapcsolatban, és felvetette a nemeukleidészi geometriák kidolgozásának lehetőségét. Ő volt továbbá az is, aki megállapította, hogy a görbület minden felület belső, helyileg megnyilvánuló jellegzetessége, amely minden pontra megállapítható az annak közvetlen környezetében végzett mérések alapján. Ez különösen jelentős a szabályos térbeli idomok esetén, elég csak arra gondolni, hogy Eratoszthenész az i. e. 3. században Gausst messze megelőzve alkalmazta a német tudós által feltártakat, amikor a nyári napforduló idején egy árnyékot vető pózna segítségével lemérte Asszuán és Alexandria távolságát, ebből pedig a Földet gömb alakúnak feltételezve a bolygó kerületét. (Eredményének pontosságát sajnos utólagosan nehéz precízen meghatározni, mivel stadionhosszban adta meg a számadatokat, de a legrosszabb esetben is mindössze 15 százalékot tévedett a modern eszközökkel mérthez képest, ami sokkal jobb eredmény, mint amikkel a gömbölyű Föld eszméjét másfél évezreddel később újra felvető tudósok az első időkben előálltak.) Gauss egyik tanítványa, Bernhard Riemann mestere munkássága nyomán aztán egy egészen újfajta geometriát dolgozott ki. A riemanni geometria síkjait kizárólag belső tulajdonságaik definiálják, vagyis olyan absztrakt felületekről van szó, amelyeket leírójuk nem képzel el kívülről, a térben létezőként, hanem gyakorlatilag csak ezen síkok bizonyos pontjairól körbenézve vizsgálja azokat.
Gauss és Riemann megállapításai kapcsán a következő felmerülő kérdés az volt, hogy görbület, vagyis a felület belső tulajdonsága alapján meg lehet-e határozni annak alakját, vagyis lehet-e azt valós térbeli idomként realizálni. A problémát Hermann Weyl német matematikus fogalmazta meg 1916-ban, nagyjából a következőképpen: ha egy geometriai felület minden pontján pozitív görbülettel rendelkezik, ezen adatok alapján fel lehet-e vázolni azt háromdimenziós objektumként. A kérdésre a Nash-sel együtt Abel-díjat kapott Nirenberg adta meg a választ doktori dolgozatában: ha mindenütt lemérjük a felület görbületét, ezen adatok alapján ténylegesen rekonstruálhatjuk a térbeli idom teljes formáját. John Nash pedig gyakorlatilag ezt a választ fejlesztette tovább. Ahogy már említettük, ami a síkok geometriáját illeti, háromféléről beszélhetünk (eukleidészi, szférikus, hiperbolikus), ahogy azonban emelkedik a tekintetbe vett dimenziók száma, a lehetséges geometriák száma is gyors növekedésnek indul. Nash gyakorlatilag azt bizonyította, hogy minden absztrakt (például riemanni) módon definiált felület belehajlítható és így realizálható az eukleidészi térben, bár időnként háromnál több dimenzióra van szükség ennek végrehajtásához. A behajlításból eredő hosszak ilyenkor pontosan az absztrakt hosszakkal fognak megegyezni. Ennek a nagyon is bonyolultnak tetsző metódusnak olyan területeken van nagyon nagy jelentősége, mint a például a húrelmélet, amely rengeteg extra dimenzió létezését feltételezi. Nash munkássága lehetőséget nyújt a szakértőknek arra, hogy ezt a felfoghatatlanul bonyolult geometriát az eukleidészi térben modellezzék és tanulmányozzák, és érvényes megállapításokat vonjanak le ezen modellekből. Hasonló a helyzet Einstein relativitáselméletével is, amely azt állítja, hogy a téridő különleges, négydimenziós geometriával bír. Nash-nek köszönhetően azonban ez az emberi térfogalmakkal szintén nehezen értelmezhető rendszer egy magasabb dimenziójú eukleidészi térként képzelhető el, ami szintén elég bonyolultnak tűnik, valójában azonban jelentősen leegyszerűsíti a problémáról való gondolkodást.
Új hozzászólás írásához előbb jelentkezz be!

Eddigi hozzászólások

23. Whysper
2015.06.01. 08:30
Gratulálok utólag is!
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
22. rtagore
2015.06.01. 11:01
Szépek és nehezek ezek az elméletek, de a gyakorlatban mégiscsak az euklidészi geometriát használjuk többnyire.
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
21. FaL
2015.06.01. 14:52
Az élet alapvető igazságtalansága, hogy a legnagyobb elmék a legtöbbször szinte leküzdhetetlen fizikai vagy mentális nehézségek ellenére kell éljék életüket. Ugyanakkor lenyűgöző, hogy ennek ellenére képesek maradandót, az emberi fejlődést előmozdító eredményeket elérni! Ők az igazi példaképei a világnak!

Persze ismét csak az élet nagy igazságtalansága, hogy míg ezeket az elméket a legtöbbször idő előtt elveszítjük, addig az emberi kultúrát szennyező Conchiták, Győzikék meg Kardashianok vígan élik életüket és ontják a világra a szennyet.

A lényeg, hogy köszönjük a munkáját és nyugodjék békében!
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
20. Philo rtago...
2015.06.01. 16:55
Hagyjuk már ezt a badarságot!
Bírom a hasonló megnyilvánulásokat pl: és ettől olcsóbb lesz a kenyér?

Ezek a matematika és a fizika aktuális határterületei. Ha az őseink hasonlóképpen gondolkoztak volna, akkor még mindig egy dohos barlangban ücsörögnénk.

No meg Te is megjegyezted, hogy többnyire... Ha a logikádat folytatjuk, akkor haszontalan mindaz a tudás, amit csak az esetek apró százalékában használunk.
Jó korlátolt lehetsz.
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
19. rtagore
2015.06.01. 17:33
@Philo: Én meg az ilyen idióta kioktató egyéneket imádom, mint te vagy. Mondj egy példát a műszaki életből, ahol nem az euklidészi geometriát használják. Biztosan nagyon hasznosak ezek az elméletek a húrelméletben (ami a mai napig nincs bizonyítva), meg az egyéb elvont tudományokban, de a gyakorlatban haszontalanok. A matematikusokon kívül senki nem használja ezeket, mert nehezen érthetők.
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
18. nano
2015.06.01. 18:55
Egy eléggé mindennapi példa a gömbi geometria (az egyik legegyszerűbb nemeuklideszi geometria) alkalmazásra: térképészet.

Biztosan van még egy csomó nem elvont terület.

Abban igazad van, hogy a mindennapi életben leginkább (csak) az euklideszi geometriát használjuk, de a modern eszközeink döntő többségét a nemeuklideszi geometriának (is) köszönhetjük.
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
17. rtagore nano
2015.06.01. 19:47
A pilóták se toronyiránt vezetik a gépet, hanem a Föld görbületét követik. Azért azt nem hiszem, hogy közben bonyolult számításokat végeznek, inkább tapasztalatból tudják már, hogy merre kell menniük.
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
16. Philo rtago...
2015.06.01. 19:50
Mégis valami akadémikus vagy, hogy ekkora az arcod?
"A matematikusokon kívül senki nem használja ezeket, mert nehezen érthetők."
Az hogy csak kevesen értik meg nem jelent semmit. A proteinszintézist is csak kevesen értik és mégis fontos.

Hagyd már ezt a gyakorlatban nincs haszna! Azért mert Te ilyen tájékozatlan vagy még lehetnek alkalmazásai. Pl a cikkben említett relativitáselmélet nélkül nem igazán működnének a GPS rendszerek... Nagyokos...


"Azért azt nem hiszem, hogy közben bonyolult számításokat végeznek, inkább tapasztalatból tudják már, hogy merre kell menniük."

Nem a pilóták számolnak, hanem a fedélzeti számítógép és a navigáció.
Tapasztalatból mégis mi a lófaszt tájékozódnának 8-10 ezer méter magasan, ahol csak a felhőket látják?

Te tényleg ekkora troll vagy?!
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
15. rtagore
2015.06.01. 21:13
@Philo: Te igazán egy nagy koponya lehetsz, hogy így nyomod a süket dumát. A troll nem én vagyok, hanem te. Te kötöttél belém, én csak a te szintedre süllyedek le, amikor ilyen szépeket írok neked, mert mást nem érdemelsz. Nem hoztál fel egyetlen műszaki alkalmazást sem példának, ahol használnák az említett matematikai elméleteket.
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
2015.06.01. 21:50
helyből kettőt is hozott de úgy látszik az olvasás képessége is csak egy nehezen érthető dolog, aminek a gyakorlatban nincs haszna...
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
2015.06.01. 21:50
helyből kettőt is hozott de úgy látszik az olvasás képessége is csak egy nehezen érthető dolog, aminek a gyakorlatban nincs haszna...
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
12. Philo rtago...
2015.06.01. 22:37
Feladom.
Úgy látszik, hogy mindenki hülye csak te vagy helikopter...

Egyik kérdésre sem válaszoltál. Nem is kell, ne fáradj!
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
11. kiskoller rtago...
2015.06.02. 06:31
A kvantummechanika, amit még mindig nem értünk teljesen, lézereket meg profibb félvezetőket hozott be.
Kvantummechanika nélkül nem lenne se PC, se konzol, se CD/DVD/Blu-ray. Attól még, hogy egy híd tervezéséhez elég a newtoni fizika meg euklideszi matek, a kvantummechanikának is megvan a haszna.

Relativitáselméletről már volt szó, nem ragozom tovább.

Tudatlan vagy, ha azt gondolod, hogy a pilóták "tapasztalatból" választják az útirányt. Egyrészt nem a legrövidebb utat választják, másrészt még azt se lenne olyan egyszerű meghatározni a megszokott mercatori térképen, a gömbfelületen lévő egyenes az általad meg általam használt térképen cikk-cakk lenne. Emellett rengeteg dologra kell odafigyelni. Viharok, országhatárok, háborús zónák, más repülők. Rohadtul nem olyan egyszerű, ahogy te azt leírtad.

Van arra az emberre egy jó jelző, aki anélkül, hogy ténylegesen birtokában lenne egy tudásnak, elveti/kritizálja azt.
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
10. rtagore
2015.06.02. 07:57
Úgy beszéltek mintha ti birtokában lennétek a cikkben említett tudásnak. A kvantummechanikának édeskevés köze van a különböző térgeometriákhoz. A GPS használatához pedig egyszerű geometria, elegendő. A műholdak sebességének és a gravitációnak van köze a relativitáselmélethez. Ezért kell korrigálni a satellitek óráját. A pilóták ha tehetik, igenis a legrövidebb utat választják, mert az a gazdaságos.
A cikkben említett elméleteket én nem kritizáltam, csak megjegyeztem, hogy a gyakorlati életben nem használatos.
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
2015.06.02. 08:49
mert Te ezt így kategorikusan kijelented, mivel Te birtokában vagy minden tudásnak, ami alapján el tudod dönteni, hogy mi használatos a gyakorlati életben és mi nem.

életszerű...
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
8. bszoke88
2015.06.02. 13:28
"A GPS használatához pedig egyszerű geometria, elegendő."
"A műholdak sebességének és a gravitációnak van köze a relativitáselmélethez."
már nem ezért vagy azért, de a GPS műholdakból áll. nem?
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
7. kiskoller rtago...
2015.06.02. 14:17
A kvantummechanikával arra céloztam, hogy a fizika határterülete is igen sok újítást tud behozni. A kvantummechanika szembe megy nagyon sok más elméletnek, csak bizonyos méretek esetén működik, ergo "ritkán" használjuk.
Mégis hatalmas haszna van.

Ugyanez igaz lehet egy kevesebbet használt matematikai modell esetében is.


Nincs birtokomban elegendő tudás ahhoz, hogy kijelentsem, hogy nincs/van értelme ennek a tudásnak, illetve ahhoz sincs, hogy kijelentsem, hol van értelme, és hol nincs értelme használni. Ergo nincs jogom/lehetőségem szembemenni az adott terület szakembereinek állításaival.
Te viszont pont ezt csináltad.

Mit tekintesz gyakorlati életnek, és abban használatos dolognak?

"A pilóták ha tehetik, igenis a legrövidebb utat választják, mert az a gazdaságos."
A legrövidebb utat ha egy átlagos térképen akarod ábrázolni, akkor nem egy szakaszt kapsz, hanem valamilyen görbét (akár több görbületet is)
Ha fogsz két pontot a térképen, húzol közötte egy szakaszt, nem a legrövidebb utat kapod. Ez esetben még talán képes vagy euklideszi geometria segítségével korrigálni, de ha már több faktor is szerepet játszik (amiket leírtam), akkor már nem kivitelezhető.

Ezért volt az a kijelentésed fals, hogy a pilóták "tapasztalatból" tájékozódnak. Igenis komoly számításokat igényelnek a pályák kiszámítása. Ebből látszik, hogy nem értesz az adott területhez, mégis kritizálod.
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
6. nano
2015.06.02. 14:35
"A kvantummechanikának édeskevés köze van a különböző térgeometriákhoz."
Szerintem menj és gondold át az életed... Nyilvánvalóan nem a különböző absztrakt geometriák és algebrák határozzák meg, hogy hogyan működik a természet, de a leírásához jelenleg nincsenek jobb eszközeink. Ezért is írtam korábban, hogy a modern eszközeinket részben ezeknek a matematikai elméleteknek köszönhetjük.

"A pilóták ha tehetik, igenis a legrövidebb utat választják, mert az a gazdaságos."
Ez alapvetően igaz, de gömbfelületen a legrövidebb utat a gömbi geometriát használva lehet a legegyszerűbben meghatározni. Persze van rá más módis , és mint már említve lett, ezt a pilóták helyett a számítógépek teszik meg. De ~100 éve a hajózásban igenis napi szinten kellett ezt kézzel megtenni.
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
5. Hawaii rtago...
2015.06.03. 14:42
"A pilóták ha tehetik, igenis a legrövidebb utat választják, mert az a gazdaságos."

A gazdaságosság sem pusztán az útvonal hosszának függvénye. Például hátszélben hosszabb útvonalon is fogyaszthat kevesebbet a repülőgép, mint a rövidebben szembe szélben.
Ugyanígy lehet akár gazdaságosabb autóval a várost autópályán, egyenletes tempóban megkerülni, mint rajta keresztül nagy forgalomban a rövidebb útvonalon átvergődni.
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
4. lillehamme... FaL
2015.06.05. 10:52
1. Bohócokra is szükség van a világban.
2. "A legnagyobb elmék a legtöbbször szinte leküzdhetetlen fizikai vagy mentális nehézségek ellenére kell éljék életüket."
Ezt azért nem hinném hogy bármilyen statisztikával alá tudnád támasztani. Minden elismerésem azoké, akik nagy nehézségek közepette is tudnak hatalmasat alkotni, de azért szerencsére a legtöbb nagy koponya jó egészségnek örvend(ett).
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
3. agyturbini...
2015.06.14. 11:15
Amig nem olvastam el ezt a cikket sosem gondolkoztam a Nem Eukledeszi matematika problemajarol. Aztan eszembejutott egy mindennapi "Problema" : Mivan ha van egy cso aminek a metszetet tekintve 3/4 hianyzik magyaran szova egy raduszban meghajtott lemez. Na ezet a lemezt ugy kell elvagni hogy 90 fokot adjon ki ha osszeilleszted egy masik azonos profilu lemezzel. Ezt gipszkarton Szegejlecbol kell elgondolni. Na az sem egy kis moka...es napjaban ezrek kuzdenek vele...
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
2. drevin agytu...
2015.06.16. 12:49
Az írásjelek jelentőségéről sem ártana elgondolkodni egy kicsit.
(A nem témába vágó hozzászólásért elnézését kérem az erre érzékenyeknek)
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!
1. agyturbini... drevi...
2015.06.27. 05:02
Kedves ekezethuszar. Magyarorszag elhagyasakor egyetlen sportaska ruhaval indultam utnak hala a legitarsasagok nagylelkusegenek. Na Pont nem volt benne egy 105 gombos billentyuzet. A kodlapcsere meg idegesit, az y-z problema miatt. Ha olvastal volna tanulmanyt az agy olvasasi funkcioajarol akkor tudnad hogy tenyszeruen nem jelent tul sok gondot. Es az utolso leglenyegesebb elem. Tartalma a mondanivalomnak pontosan ugyan az marad. De mar ertem miert a magyarok a vilag legtobbet SEX-elo orszaga. Mert a Bszogatast is beleszamoljuk......
 
Válasz írásához előbb jelentkezz be!